基礎数学例

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

ステップ 1

たすき掛けします。

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ステップ 1.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

ステップ 1.2.1.2

$6^{y}$ と $6^{y}$ をたし算します。

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

ステップ 1.2.1.3

$2 \cdot 6^{y}$ と $6^{y}$ をたし算します。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$3^{y}$ と $3^{y}$ をたし算します。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

ステップ 1.3.1.2

$2 \cdot 3^{y}$ と $3^{y}$ をたし算します。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

ステップ 1.3.1.3

$3$ に $3^{y}$ をかけます。

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ステップ 1.3.1.3.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

ステップ 1.3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

ステップ 1.3.1.4

$64$ を $\sqrt{3^{1 + y}}$ の左に移動させます。

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ を ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

積の法則を $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ に当てはめます。

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$64$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ を $3^{1 + y}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3^{1 + y}}$ を $3^{\frac{1 + y}{2}}$ に書き換えます。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2.3

$\frac{1 + y}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.1.2.4.2

$1 + y$ を $1$ で割ります。

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

ステップ 4.2

左辺を展開します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (3 \cdot 6^{y})$ を $\ln (3) + \ln (6^{y})$ に書き換えます。

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

ステップ 4.2.2

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (6^{y})$ を展開します。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

ステップ 4.3

右辺を展開します。

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ステップ 4.3.1

$\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ を $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ に書き換えます。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

ステップ 4.3.2

$1 + y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{1 + y})$ を展開します。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

ステップ 4.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

ステップ 4.4.1.1.2

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

ステップ 4.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

ステップ 4.4.1.3

$4096$ に $3$ をかけます。

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

ステップ 4.5

$\ln (3)$ と $y \ln (6)$ を並べ替えます。

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

ステップ 4.6

$\ln (12288)$ と $y \ln (3)$ を並べ替えます。

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

ステップ 4.7

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

ステップ 4.8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

ステップ 4.9

$3$ と $12288$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

ステップ 4.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.1

$3$ を $12288$ で因数分解します。

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

ステップ 4.9.2.2

共通因数を約分します。

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

ステップ 4.9.2.3

式を書き換えます。

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

ステップ 4.10

方程式の両辺から $\ln (\frac{1}{4096})$ を引きます。

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

ステップ 4.11

$y$ を $y \ln (6) - y \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 4.11.1

$y$ を $y \ln (6)$ で因数分解します。

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

ステップ 4.11.2

$y$ を $- y \ln (3)$ で因数分解します。

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

ステップ 4.11.3

$y$ を $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ で因数分解します。

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

ステップ 4.12

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

ステップ 4.13

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ の各項を $\ln (6) - \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.13.1

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ の各項を $\ln (6) - \ln (3)$ で割ります。

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

ステップ 4.13.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.13.2.1

$\ln (6) - \ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.13.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

ステップ 4.13.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

ステップ 4.13.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.13.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

10進法形式：

$y = 12$

基礎数学 例

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