基礎数学例

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 y - 3}$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$- 5$ を $- 5 y$ で因数分解します。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 (y) - 3}$

ステップ 1.1.2

$- 5$ を $1$ プラス $- 6$ に書き換える

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + (1 - 6) y - 3}$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + 1 y - 6 y - 3}$

ステップ 1.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + y - 6 y - 3}$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y^{2} + y) - 6 y - 3}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{y (2 y + 1) - 3 (2 y + 1)}$

ステップ 1.3

最大公約数 $2 y + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y + 1, y - 3, (2 y + 1) (y - 3)$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.5

$2 y + 1$ の因数は $2 y + 1$ そのものです。

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.6

$y - 3$ の因数は $y - 3$ そのものです。

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.7

$2 y + 1$ の因数は $2 y + 1$ そのものです。

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.8

$y - 3$ の因数は $y - 3$ そのものです。

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.9

$2 y + 1, y - 3, 2 y + 1, y - 3$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(2 y + 1) (y - 3)$

ステップ 3

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ の各項に $(2 y + 1) (y - 3)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ の各項に $(2 y + 1) (y - 3)$ を掛けます。

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$4 (y - 3) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.2

分配則を当てはめます。

$4 y + 4 \cdot - 3 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$4 y - 12 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.4

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$- \frac{y}{y - 3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.4.2

$y - 3$ を $(2 y + 1) (y - 3)$ で因数分解します。

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.4.4

式を書き換えます。

$4 y - 12 - y (2 y + 1) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 y - 12 - y (2 y) - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.8

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.8.1

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.8.1.1

$y$ を移動させます。

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.8.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.1.8.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 y - 12 - 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.2.2

$4 y$ から $y$ を引きます。

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$(2 y + 1) (y - 3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$3 y - 12 - 2 y^{2} = - 3 y^{2} + 3 y + 37$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺に $3 y^{2}$ を足します。

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 3 y + 37$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y = 37$

ステップ 4.1.3

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.3.1

$3 y$ から $3 y$ を引きます。

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} + 0 = 37$

ステップ 4.1.3.2

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 37$

ステップ 4.1.4

$- 2 y^{2}$ と $3 y^{2}$ をたし算します。

$- 12 + y^{2} = 37$

ステップ 4.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $12$ を足します。

$y^{2} = 37 + 12$

ステップ 4.2.2

$37$ と $12$ をたし算します。

$y^{2} = 49$

ステップ 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{49}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt{49}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{7^{2}}$

ステップ 4.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 7$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 7$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 7$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 7, - 7$

基礎数学 例

基礎数学例