基礎数学例

$\frac{10 a + 8 - 3 a^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 a^{2} + 10 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 3 \cdot 8 = - 24$ で和が $b = 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$10$ を $10 a$ で因数分解します。

$\frac{- 3 a^{2} + 10 (a) + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.2.2

$10$ を $- 2$ プラス $12$ に書き換える

$\frac{- 3 a^{2} + (- 2 + 12) a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 a^{2} - 2 a + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- 3 a^{2} - 2 a) + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{a (- 3 a - 2) - 4 (- 3 a - 2)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 1.4

最大公約数 $- 3 a - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $a^{2} - a - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$9 a$ を $9 a^{3} - 81 a$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$9 a$ を $9 a^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 3.1.2

$9 a$ を $- 81 a$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 3.1.3

$9 a$ を $9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 3^{2})}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 7$ を $- 7 a$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 (a) - 6}$

ステップ 4.1.2

$- 7$ を $2$ プラス $- 9$ に書き換える

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + (2 - 9) a - 6}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + 2 a - 9 a - 6}$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a^{2} + 2 a) - 9 a - 6}$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{a (3 a + 2) - 3 (3 a + 2)}$

ステップ 4.3

最大公約数 $3 a + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 5

$a + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$a + 3$ を $(a - 4) (a + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 5.2

$a + 3$ を $9 a (a + 3) (a - 3)$ で因数分解します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 5.3

共通因数を約分します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 5.4

式を書き換えます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4} \cdot \frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 6

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4}$ に $\frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$ をかけます。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

ステップ 7

$a - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 8

$a - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

ステップ 8.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9

$- 3 a - 2$ と $3 a + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を $- 3 a$ で因数分解します。

$\frac{(- (3 a) - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{(- (3 a) - 1 (2)) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9.3

$- 1$ を $- (3 a) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9.4

$- (3 a + 2)$ を $- 1 (3 a + 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9.5

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

ステップ 9.6

$- 1 (9 a)$ を $1$ で割ります。

$- 1 (9 a)$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1 (9 a)$ を $- (9 a)$ に書き換えます。

$- (9 a)$

ステップ 10.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 9 a$

基礎数学 例

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