基礎数学例

$0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, v^{2}, 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$v^{2}$

ステップ 2

$0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ の各項に $v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ の各項に $v^{2}$ を掛けます。

$0.072 v \cdot v^{2} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して $v$ に $v^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$v^{2}$ を移動させます。

$0.072 (v^{2} v) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$v^{2}$ に $v$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

$v$ を $1$ 乗します。

$0.072 (v^{2} v^{1}) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0.072 v^{2 + 1} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$0.072 v^{3} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.2

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- \frac{243}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$0.072 v^{3} - 243 = 0 v^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $v^{2}$ をかけます。

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $243$ を足します。

$0.072 v^{3} = 243$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $243$ を引きます。

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$0.072$ を $0.072 v^{3} - 243$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$0.072$ を $0.072 v^{3}$ で因数分解します。

$0.072 (v^{3}) - 243 = 0$

ステップ 3.3.1.2

$0.072$ を $- 243$ で因数分解します。

$0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375 = 0$

ステップ 3.3.1.3

$0.072$ を $0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375$ で因数分解します。

$0.072 (v^{3} - 3375) = 0$

ステップ 3.3.2

$3375$ を $15^{3}$ に書き換えます。

$0.072 (v^{3} - 15^{3}) = 0$

ステップ 3.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = v$ であり、 $b = 15$ です。

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + v \cdot 15 + 15^{2})) = 0$

ステップ 3.3.4

因数分解。

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ステップ 3.3.4.1

簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$15$ を $v$ の左に移動させます。

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 15^{2})) = 0$

ステップ 3.3.4.1.2

$15$ を $2$ 乗します。

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 225)) = 0$

ステップ 3.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$v - 15 = 0$

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

ステップ 3.5

$v - 15$ を $0$ に等しくし、 $v$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$v - 15$ が $0$ に等しいとします。

$v - 15 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$v = 15$

ステップ 3.6

$v^{2} + 15 v + 225$ を $0$ に等しくし、 $v$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$v^{2} + 15 v + 225$ が $0$ に等しいとします。

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

ステップ 3.6.2

$v$ について $v^{2} + 15 v + 225 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 15$ 、および $c = 225$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $v$ の値を求めます。

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 225)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1.1

$15$ を $2$ 乗します。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 225$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $225$ をかけます。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.3

$225$ から $900$ を引きます。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.4

$- 675$ を $- 1 (675)$ に書き換えます。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (675)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ に書き換えます。

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.7

$675$ を $15^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.2.3.1.7.1

$225$ を $675$ で因数分解します。

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.7.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.9

$15$ を $i$ の左に移動させます。

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$v = - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.7

最終解は $0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$ を真にするすべての値です。

$v = 15, - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$

基礎数学 例

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