基礎数学例

$8 y^{3} + 125 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $125$ を引きます。

$8 y^{3} = - 125$

ステップ 2

方程式の両辺に $125$ を足します。

$8 y^{3} + 125 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$8 y^{3}$ を ${(2 y)}^{3}$ に書き換えます。

${(2 y)}^{3} + 125 = 0$

ステップ 3.2

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

${(2 y)}^{3} + 5^{3} = 0$

ステップ 3.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 y$ であり、 $b = 5$ です。

$(2 y + 5) ({(2 y)}^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$(2 y + 5) (2^{2} y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.4

$5$ に $- 2$ をかけます。

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4.5

$5$ を $2$ 乗します。

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 y + 5 = 0$

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

ステップ 5

$2 y + 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 y + 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 y + 5 = 0$

ステップ 5.2

$y$ について $2 y + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 y = - 5$

ステップ 5.2.2

$2 y = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 y = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5}{2}$

ステップ 6

$4 y^{2} - 10 y + 25$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 6.1

$4 y^{2} - 10 y + 25$ が $0$ に等しいとします。

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

ステップ 6.2

$y$ について $4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 4$ 、 $b = - 10$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 16$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.3

$100$ から $400$ を引きます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 300$ を $- 1 (300)$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (300)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.7

$300$ を $10^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.3.1.7.1

$100$ を $300$ で因数分解します。

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.7.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$y = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 7

最終解は $(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = - \frac{5}{2}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$

基礎数学 例

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