基礎数学例

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.5

$10$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.7

$10$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.2.8

$5$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

ステップ 1.3

二項定理を利用します。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.5

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.6

$10$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.7

積の法則を $- z$ に当てはめます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.9

$z^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.10

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.11

$10$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.12

積の法則を $- z$ に当てはめます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.13

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.14

$- 1$ に $10$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.15

$5$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.16

積の法則を $- z$ に当てはめます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.17

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.18

$z^{4}$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

ステップ 1.4.19

積の法則を $- z$ に当てはめます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

ステップ 1.4.20

$- 1$ を $5$ 乗します。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

ステップ 1.5

分配則を当てはめます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

ステップ 1.6.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

ステップ 1.6.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

ステップ 1.6.4

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

ステップ 1.6.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.6.6

$- - z^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

ステップ 1.6.6.2

$z^{5}$ に $1$ をかけます。

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.7

$1$ から $1$ を引きます。

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.8

$5 z$ と $0$ をたし算します。

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.9

$10 z^{2}$ から $10 z^{2}$ を引きます。

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.10

$10 z^{3}$ と $0$ をたし算します。

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.11

$10 z^{3}$ と $10 z^{3}$ をたし算します。

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

ステップ 1.12

$5 z^{4}$ から $5 z^{4}$ を引きます。

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

ステップ 1.13

$20 z^{3}$ と $0$ をたし算します。

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

ステップ 1.14

$z^{5}$ と $z^{5}$ をたし算します。

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

ステップ 1.15

$5 z$ と $5 z$ をたし算します。

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

ステップ 1.16

項を並べ替えます。

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

ステップ 1.17

$2 z$ を $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ で因数分解します。

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ステップ 1.17.1

$2 z$ を $2 z^{5}$ で因数分解します。

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

ステップ 1.17.2

$2 z$ を $20 z^{3}$ で因数分解します。

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

ステップ 1.17.3

$2 z$ を $10 z$ で因数分解します。

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

ステップ 1.17.4

$2 z$ を $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ で因数分解します。

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

ステップ 1.17.5

$2 z$ を $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ で因数分解します。

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

ステップ 3

$z$ が $0$ に等しいとします。

$z = 0$

ステップ 4

$z^{4} + 10 z^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 4.1

$z^{4} + 10 z^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

ステップ 4.2

$z$ について $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$u = z^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

ステップ 4.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2.3

$a = 1$ 、 $b = 10$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4

簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.3

$100$ から $20$ を引きます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.4.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

ステップ 4.2.6

$u = z^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

ステップ 4.2.7

$z$ について第1方程式を解きます。

$z^{2} = - 0.52786404$

ステップ 4.2.8

$z$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

ステップ 4.2.8.2

$\pm \sqrt{- 0.52786404}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

$- 0.52786404$ を $- 1 (0.52786404)$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

ステップ 4.2.8.2.2

$\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

ステップ 4.2.8.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

ステップ 4.2.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$z = i \sqrt{0.52786404}$

ステップ 4.2.8.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

ステップ 4.2.8.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

ステップ 4.2.9

$z$ について二次方程式を解きます。

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

ステップ 4.2.10

$z$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

括弧を削除します。

$z^{2} = - 9.47213595$

ステップ 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

ステップ 4.2.10.3

$\pm \sqrt{- 9.47213595}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.3.1

$- 9.47213595$ を $- 1 (9.47213595)$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

ステップ 4.2.10.3.2

$\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ に書き換えます。

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

ステップ 4.2.10.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

ステップ 4.2.10.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$z = i \sqrt{9.47213595}$

ステップ 4.2.10.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

ステップ 4.2.10.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

ステップ 4.2.11

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ の解は $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ です。

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

ステップ 5

最終解は $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

基礎数学 例

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