基礎数学例

$\frac{1}{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$\frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.2

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{27 + 27 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.4

$- 2$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.6

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.7

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.8.5

指数を求めます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.9

$9 (4 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.9.2

$9$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.10

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.11

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.12

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{3}}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.13

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{8}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.14

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.14.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{4 (2)}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.14.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.15

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 (2 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.2.16

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.3

$27$ と $72$ をたし算します。

$\frac{1}{99 - 54 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.4

$- 54 \sqrt{2}$ から $16 \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ に $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.6

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ に $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{(99 - 70 \sqrt{2}) (99 + 70 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.7

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{9801 + 6930 \sqrt{2} - 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.8

簡約します。

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{1} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.9

$99 + 70 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.10

二項定理を利用します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$3$ を $3$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.2

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.2.1

$3$ に $3^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.2.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{3} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.3

$3$ を $3$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 27 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.4

$2$ に $27$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.5

$3$ に $3$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.6

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.7

$2$ を $2$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.8.4.1

共通因数を約分します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8.4.2

式を書き換えます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.8.5

指数を求めます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.9

$9 (4 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.9.1

$4$ に $2$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.9.2

$9$ に $8$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

ステップ 1.11.10

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

ステップ 1.11.11

$2$ を $3$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 {\sqrt{2}}^{3}}$

ステップ 1.11.12

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{3}}}$

ステップ 1.11.13

$2$ を $3$ 乗します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{8}}$

ステップ 1.11.14

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.14.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{4 (2)}}$

ステップ 1.11.14.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.11.15

累乗根の下から項を取り出します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 (2 \sqrt{2})}$

ステップ 1.11.16

$2$ に $8$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2}}$

ステップ 1.12

$27$ と $72$ をたし算します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 54 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2}}$

ステップ 1.13

$54 \sqrt{2}$ と $16 \sqrt{2}$ をたし算します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$

ステップ 1.14

$\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ に $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$

ステップ 1.15

$\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ に $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ をかけます。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{(99 + 70 \sqrt{2}) (99 - 70 \sqrt{2})}$

ステップ 1.16

FOIL法を使って分母を展開します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{9801 - 6930 \sqrt{2} + 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.17

簡約します。

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{1}$

ステップ 1.18

$99 - 70 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$99 + 70 \sqrt{2} + 99 - 70 \sqrt{2}$

ステップ 2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$99$ と $99$ をたし算します。

$198 + 70 \sqrt{2} - 70 \sqrt{2}$

ステップ 2.2

$70 \sqrt{2}$ から $70 \sqrt{2}$ を引きます。

$198 + 0$

ステップ 2.3

$198$ と $0$ をたし算します。

$198$

基礎数学 例

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