基礎数学例

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 \cos (2 θ)$ を引きます。

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

三角関数表現を利用して $\cos (3 x)$ を $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ に変換します。

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

ステップ 2.1.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

ステップ 2.2

$\cos (θ)$ から $3 \cos (θ)$ を引きます。

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

ステップ 3

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$2$ を $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$2$ を $- 2 \cos (θ)$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

ステップ 3.1.2

$2$ を $4 \cos^{3} (θ)$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

ステップ 3.1.3

$2$ を $- 4 \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

ステップ 3.1.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

ステップ 3.1.5

$2$ を $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

ステップ 3.1.6

$2$ を $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

ステップ 3.1.7

$2$ を $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ で因数分解します。

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

ステップ 3.2

項を並べ替えます。

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

最大公約数 $\cos (θ) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

ステップ 5

$\cos (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $\cos (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (θ) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 5.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - 0$

ステップ 5.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 \cos^{2} (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 \cos^{2} (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$θ$ について $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

ステップ 6.2.2

$2 \cos^{2} (θ) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 \cos^{2} (θ) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\cos^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 6.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 6.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.6

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.7

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 6.2.7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.2.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.7.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 6.2.7.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.7.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 6.2.7.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{7 π}{4}$

ステップ 6.2.7.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.8

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 6.2.8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.2.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 6.2.8.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{4}$

ステップ 6.2.8.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.9

すべての解をまとめます。

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.10

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

基礎数学 例

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