基礎数学例

$8 k^{3} + 8 k - 16$

ステップ 1

$8$ を $8 k^{3} + 8 k - 16$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$8$ を $8 k^{3}$ で因数分解します。

$8 (k^{3}) + 8 k - 16$

ステップ 1.2

$8$ を $8 k$ で因数分解します。

$8 (k^{3}) + 8 (k) - 16$

ステップ 1.3

$8$ を $- 16$ で因数分解します。

$8 (k^{3}) + 8 k + 8 \cdot - 2$

ステップ 1.4

$8$ を $8 (k^{3}) + 8 k$ で因数分解します。

$8 (k^{3} + k) + 8 \cdot - 2$

ステップ 1.5

$8$ を $8 (k^{3} + k) + 8 \cdot - 2$ で因数分解します。

$8 (k^{3} + k - 2)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $k^{3} + k - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 1 - 2$

ステップ 2.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 1 - 2$

ステップ 2.1.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.3.4

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $k - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{k^{3} + k - 2}{k - 1}$

ステップ 2.1.5

$k^{3} + k - 2$ を $k - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$k$

$1$

$k^{3}$

$0 k^{2}$

$k$

$2$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $k^{3}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

					$k^{2}$
	$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			+	$k^{3}$	-	$k^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $k^{3} - k^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$k^{2}$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $k^{2}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					+	$k^{2}$	-	$k$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $k^{2} - k$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$k^{2}$	+	$k$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$	-	$2$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $2 k$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$2$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$	-	$2$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$2$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$	-	$2$
							+	$2 k$	-	$2$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 k - 2$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$2$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$	-	$2$
							-	$2 k$	+	$2$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$	+	$k$	+	$2$
$k$	-	$1$		$k^{3}$	+	$0 k^{2}$	+	$k$	-	$2$
			-	$k^{3}$	+	$k^{2}$
					+	$k^{2}$	+	$k$
					-	$k^{2}$	+	$k$
							+	$2 k$	-	$2$
							-	$2 k$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$k^{2} + k + 2$

ステップ 2.1.6

$k^{3} + k - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$8 ((k - 1) (k^{2} + k + 2))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$8 (k - 1) (k^{2} + k + 2)$

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