基礎数学例

$\frac{\sqrt{60} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (15)} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{20}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.3

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{4 (5)}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{15} - (2 \sqrt{5})}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$

ステップ 2

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}$

ステップ 3.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{75} - \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

$\frac{(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 10}$

ステップ 3.4

$2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}$ と $- 10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $(2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ で因数分解します。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{- 10}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 (- 5)}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15}))}{2 \cdot - 5}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{15} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{15})$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{15})}{- 5}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.2

$15$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.3

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.3.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 15} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.6

$15$ に $15$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{225} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.7

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15^{2}} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.9

$- \sqrt{5} \sqrt{5}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.9.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.9.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5^{1} - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.10.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.11

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5} \sqrt{15}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.12

$- \sqrt{5} \sqrt{15}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.12.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{15 \cdot 5}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.12.2

$15$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{75}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.13

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.13.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{25 (3)}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.13.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{- 5}$

ステップ 4.2.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - (5 \sqrt{3})}{- 5}$

ステップ 4.2.1.15

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} + 15 - 5 - 5 \sqrt{3}}{- 5}$

ステップ 4.2.2

$5 \sqrt{3}$ から $5 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{0 + 15 - 5}{- 5}$

ステップ 4.2.3

$0$ と $15$ をたし算します。

$\frac{15 - 5}{- 5}$

ステップ 4.2.4

$15$ から $5$ を引きます。

$\frac{10}{- 5}$

ステップ 5

$10$ を $- 5$ で割ります。

$- 2$

基礎数学 例

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