基礎数学例

$\frac{z^{2} - 64}{z^{2} - 14 z + 49} \div \frac{6 z - 48}{z^{2} - 6 z - 7}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{z^{2} - 64}{z^{2} - 14 z + 49} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{z^{2} - 8^{2}}{z^{2} - 14 z + 49} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 8$ です。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{z^{2} - 14 z + 49} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{z^{2} - 14 z + 7^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 3.4

$a = z$ と $b = 7$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{{(z - 7)}^{2}} \cdot \frac{z^{2} - 6 z - 7}{6 z - 48}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $z^{2} - 6 z - 7$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $- 6$ です。

$- 7, 1$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{{(z - 7)}^{2}} \cdot \frac{(z - 7) (z + 1)}{6 z - 48}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$6$ を $6 z - 48$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$6$ を $6 z$ で因数分解します。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{{(z - 7)}^{2}} \cdot \frac{(z - 7) (z + 1)}{6 (z) - 48}$

ステップ 5.1.2

$6$ を $- 48$ で因数分解します。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{{(z - 7)}^{2}} \cdot \frac{(z - 7) (z + 1)}{6 z + 6 \cdot - 8}$

ステップ 5.1.3

$6$ を $6 z + 6 \cdot - 8$ で因数分解します。

$\frac{(z + 8) (z - 8)}{{(z - 7)}^{2}} \cdot \frac{(z - 7) (z + 1)}{6 (z - 8)}$

ステップ 5.2

まとめる。

$\frac{(z + 8) (z - 8) ((z - 7) (z + 1))}{{(z - 7)}^{2} (6 (z - 8))}$

ステップ 5.3

$z - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(z + 8) (z - 8) ((z - 7) (z + 1))}{{(z - 7)}^{2} (6 (z - 8))}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(z + 8) ((z - 7) (z + 1))}{{(z - 7)}^{2} \cdot (6)}$

ステップ 5.4

$z - 7$ と ${(z - 7)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$z - 7$ を $(z + 8) ((z - 7) (z + 1))$ で因数分解します。

$\frac{(z - 7) ((z + 8) (z + 1))}{{(z - 7)}^{2} \cdot (6)}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$z - 7$ を ${(z - 7)}^{2} \cdot (6)$ で因数分解します。

$\frac{(z - 7) ((z + 8) (z + 1))}{(z - 7) ((z - 7) \cdot 6)}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(z - 7) ((z + 8) (z + 1))}{(z - 7) ((z - 7) \cdot 6)}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(z + 8) (z + 1)}{(z - 7) \cdot 6}$

ステップ 5.5

$6$ を $z - 7$ の左に移動させます。

$\frac{(z + 8) (z + 1)}{6 (z - 7)}$

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