基礎数学例

$\frac{2 \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{3}}$

ステップ 1

$\frac{2 \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{2 \sqrt{5} + \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{3}}$ に $\frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{(2 \sqrt{5} + \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{(3 \sqrt{5} + \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(2 \sqrt{5} + \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{9 {\sqrt{5}}^{2} - 3 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(2 \sqrt{5} + \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{42}$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \sqrt{5} + \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sqrt{5} (3 \sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{42}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{42}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2 \sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.1.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.1.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{6 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 \cdot 5^{1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{6 \cdot 5 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.3

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{30 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.4

$2 \sqrt{5} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.4.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.4.3

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{3} (3 \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.5.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.6

$\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.6.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{42}$

ステップ 4.1.6.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{42}$

ステップ 4.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{42}$

ステップ 4.1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}{42}$

ステップ 4.1.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{42}$

ステップ 4.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{42}$

ステップ 4.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 3^{\frac{2}{2}}}{42}$

ステップ 4.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 3^{\frac{2}{2}}}{42}$

ステップ 4.1.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 3^{1}}{42}$

ステップ 4.1.7.5

指数を求めます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 1 \cdot 3}{42}$

ステップ 4.1.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{30 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15} - 3}{42}$

ステップ 4.2

$30$ から $3$ を引きます。

$\frac{27 - 2 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15}}{42}$

ステップ 4.3

$- 2 \sqrt{15}$ と $3 \sqrt{15}$ をたし算します。

$\frac{27 + \sqrt{15}}{42}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{27 + \sqrt{15}}{42}$

10進法形式：

$0.73507103 \dots$

基礎数学 例

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