基礎数学例

$(k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40) \div (k + 10)$

ステップ 1

有理根検定を用いて $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

ステップ 1.3

$- 10$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 10$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 10$ を多項式に代入します。

${(- 10)}^{3} + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

ステップ 1.3.2

$- 10$ を $3$ 乗します。

$- 1000 + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

ステップ 1.3.3

$- 10$ を $2$ 乗します。

$- 1000 + 18 \cdot 100 + 84 \cdot - 10 + 40$

ステップ 1.3.4

$18$ に $100$ をかけます。

$- 1000 + 1800 + 84 \cdot - 10 + 40$

ステップ 1.3.5

$- 1000$ と $1800$ をたし算します。

$800 + 84 \cdot - 10 + 40$

ステップ 1.3.6

$84$ に $- 10$ をかけます。

$800 - 840 + 40$

ステップ 1.3.7

$800$ から $840$ を引きます。

$- 40 + 40$

ステップ 1.3.8

$- 40$ と $40$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$- 10$ は既知の根なので、多項式を $k + 10$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40}{k + 10}$

ステップ 1.5

$k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ を $k + 10$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$k$

$10$

$k^{3}$

$18 k^{2}$

$84 k$

$40$

ステップ 1.5.2

被除数 $k^{3}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

					$k^{2}$
	$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			+	$k^{3}$	+	$10 k^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $k^{3} + 10 k^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

ステップ 1.5.7

被除数 $8 k^{2}$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					+	$8 k^{2}$	+	$80 k$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $8 k^{2} + 80 k$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

ステップ 1.5.12

被除数 $4 k$ の最高次項を除数 $k$ の最高次項で割ります。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							+	$4 k$	+	$40$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 k + 40$ の符号をすべて変更します。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$k^{2} + 8 k + 4$

ステップ 1.6

$k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ を因数の集合として書き換えます。

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

ステップ 2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.1

今日数因数で約分することで式 $(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$ を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{k^{2} + 8 k + 4}{1}$

ステップ 2.2

$k^{2} + 8 k + 4$ を $1$ で割ります。

$k^{2} + 8 k + 4$

基礎数学 例

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