基礎数学例

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

ステップ 3

$- 5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 5$ は多項式の根です。

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ステップ 3.1

$- 5$ を多項式に代入します。

${(- 5)}^{3} - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

ステップ 3.2

$- 5$ を $3$ 乗します。

$- 125 - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

ステップ 3.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 125 - 3 \cdot 25 - 15 \cdot - 5 + 125$

ステップ 3.4

$- 3$ に $25$ をかけます。

$- 125 - 75 - 15 \cdot - 5 + 125$

ステップ 3.5

$- 125$ から $75$ を引きます。

$- 200 - 15 \cdot - 5 + 125$

ステップ 3.6

$- 15$ に $- 5$ をかけます。

$- 200 + 75 + 125$

ステップ 3.7

$- 200$ と $75$ をたし算します。

$- 125 + 125$

ステップ 3.8

$- 125$ と $125$ をたし算します。

$0$

ステップ 4

$- 5$ は既知の根なので、多項式を $t + 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125}{t + 5}$

ステップ 5

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ を $t + 5$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$t$

$5$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$15 t$

$125$

ステップ 5.2

被除数 $t^{3}$ の最高次項を除数 $t$ の最高次項で割ります。

					$t^{2}$
	$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			+	$t^{3}$	+	$5 t^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $t^{3} + 5 t^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

ステップ 5.7

被除数 $- 8 t^{2}$ の最高次項を除数 $t$ の最高次項で割ります。

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					-	$8 t^{2}$	-	$40 t$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 t^{2} - 40 t$ の符号をすべて変更します。

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

ステップ 5.12

被除数 $25 t$ の最高次項を除数 $t$ の最高次項で割ります。

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							+	$25 t$	+	$125$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $25 t + 125$ の符号をすべて変更します。

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$t^{2} - 8 t + 25$

ステップ 6

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ を因数の集合として書き換えます。

$(t + 5) (t^{2} - 8 t + 25)$

基礎数学 例

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