基礎数学例

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

ステップ 1

$5$ を $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$5$ を $10 p^{3}$ で因数分解します。

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

ステップ 1.2

$5$ を $- 25 p^{2}$ で因数分解します。

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

ステップ 1.3

$5$ を $20$ で因数分解します。

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

ステップ 1.4

$5$ を $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ で因数分解します。

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

ステップ 1.5

$5$ を $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ で因数分解します。

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

ステップ 2.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

ステップ 2.1.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

ステップ 2.1.3.5

$- 5$ に $4$ をかけます。

$16 - 20 + 4$

ステップ 2.1.3.6

$16$ から $20$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 2.1.3.7

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $p - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

ステップ 2.1.5

$2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ を $p - 2$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $2 p^{3}$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 p^{3} - 4 p^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- p^{2}$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- p^{2} + 2 p$ の符号をすべて変更します。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $- 2 p$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 p + 4$ の符号をすべて変更します。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 p^{2} - p - 2$

ステップ 2.1.6

$2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ を因数の集合として書き換えます。

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$

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