基礎数学例

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{a^{2} - 4 a - 5}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $a^{2} - 4 a - 5$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

ステップ 2

$a - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

ステップ 2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{1}{a + 1}$

ステップ 3

$\frac{1}{a^{2} - 25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 1}{a + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1}$

ステップ 4

$- \frac{1}{a + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

ステップ 5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a^{2} - 25) (a + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{a^{2} - 25}$ に $\frac{a + 1}{a + 1}$ をかけます。

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{a + 1}$ に $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ をかけます。

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 5.3

$(a^{2} - 25) (a + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a + 1}{(a + 1) (a^{2} - 25)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7

因数分解した形で $\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$ を書き換えます。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 1 - a^{2} - - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $- 25$ をかけます。

$\frac{a + 1 - a^{2} + 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.3

$1$ と $25$ をたし算します。

$\frac{a - a^{2} + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{- a^{2} + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- a^{2} + a + 26$ で因数分解します。

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ステップ 7.5.1

$- 1$ を $- a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2}) + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.5.2

$- 1$ を $a$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.5.3

$26$ を $- 1 (- 26)$ に書き換えます。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.5.4

$- 1$ を $- (a^{2}) - 1 (- a)$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.5.5

$- 1$ を $- (a^{2} - a) - 1 (- 26)$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

ステップ 7.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 5^{2})}$

ステップ 7.7

因数分解。

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ステップ 7.7.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) ((a + 5) (a - 5))}$

ステップ 7.7.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a + 5) (a - 5)}$

基礎数学 例

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