基礎数学例

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $a^{2} + 3 a - 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

ステップ 2

$a - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

ステップ 2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

ステップ 3

$\frac{1}{a^{2} - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 4}{a + 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

ステップ 4

$- \frac{1}{a + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

ステップ 5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a^{2} - 1) (a + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{a^{2} - 1}$ に $\frac{a + 4}{a + 4}$ をかけます。

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{a + 4}$ に $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ をかけます。

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 5.3

$(a^{2} - 1) (a + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7

因数分解した形で $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $- a^{2} + a + 5$ で因数分解します。

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ステップ 7.5.1

$- 1$ を $- a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.5.2

$- 1$ を $a$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.5.3

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.5.4

$- 1$ を $- (a^{2}) - 1 (- a)$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.5.5

$- 1$ を $- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

ステップ 7.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

ステップ 7.7

因数分解。

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ステップ 7.7.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

ステップ 7.7.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$

基礎数学 例

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