基礎数学例

$a^{5} - 32$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

ステップ 3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{5} - 32$

ステップ 3.2

$2$ を $5$ 乗します。

$32 - 32$

ステップ 3.3

$32$ から $32$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$2$ は既知の根なので、多項式を $a - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{a^{5} - 32}{a - 2}$

ステップ 5

$a^{5} - 32$ を $a - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

ステップ 5.2

被除数 $a^{5}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $a^{5} - 2 a^{4}$ の符号をすべて変更します。

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$a^{4}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

ステップ 5.7

被除数 $2 a^{4}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 a^{4} - 4 a^{3}$ の符号をすべて変更します。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

ステップ 5.12

被除数 $4 a^{3}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 a^{3} - 8 a^{2}$ の符号をすべて変更します。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

ステップ 5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

ステップ 5.17

被除数 $8 a^{2}$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

ステップ 5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

ステップ 5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $8 a^{2} - 16 a$ の符号をすべて変更します。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

ステップ 5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

ステップ 5.21

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

ステップ 5.22

被除数 $16 a$ の最高次項を除数 $a$ の最高次項で割ります。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

ステップ 5.23

新しい商の項に除数を掛けます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

ステップ 5.24

式は被除数から引く必要があるので、 $16 a - 32$ の符号をすべて変更します。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

ステップ 5.25

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$a^{4}$

$2 a^{3}$

$4 a^{2}$

$8 a$

$16$

$a$

$2$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$32$

$a^{5}$

$2 a^{4}$

$0 a^{3}$

$2 a^{4}$

$4 a^{3}$

$0 a^{2}$

$4 a^{3}$

$8 a^{2}$

$0 a$

$8 a^{2}$

$16 a$

$32$

$16 a$

$32$

$0$

ステップ 5.26

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16$

ステップ 6

$a^{5} - 32$ を因数の集合として書き換えます。

$(a - 2) (a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16)$

基礎数学 例

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