基礎数学例

sin (\frac{π}{2} + θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

ステップ 1

正弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ ということが述べられています。

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は

1

$1$ です。

1 cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

ステップ 2.1.1.2

cos (θ)

$\cos (θ)$ に

1

$1$ をかけます。

cos (θ) + cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

ステップ 2.1.1.3

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は

0

$0$ です。

cos (θ) + 0 sin (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

ステップ 2.1.1.4

0

$0$ に

sin (θ)

$\sin (θ)$ をかけます。

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

cos (θ) + 0 = - tan (θ)

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

ステップ 2.1.2

cos (θ)

$\cos (θ)$ と

0

$0$ をたし算します。

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

cos (θ) = - tan (θ)

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

正弦と余弦に関して

tan (θ)

$\tan (θ)$ を書き換えます。

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

cos (θ) = - \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 4

方程式の両辺に

cos (θ)

$\cos (θ)$ を掛けます。

cos (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 5

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ を掛けます。

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ステップ 5.1

cos (θ)

$\cos (θ)$ を

1

$1$ 乗します。

{cos}^{1} (θ) cos (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 5.2

cos (θ)

$\cos (θ)$ を

1

$1$ 乗します。

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 5.3

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

{cos (θ)}^{1 + 1} = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 5.4

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) (- \frac{sin (θ)}{cos (θ)})

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

ステップ 6

積の可換性を利用して書き換えます。

{cos}^{2} (θ) = - cos (θ) \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 7

cos (θ)

$\cos (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

cos (θ)

$\cos (θ)$ を

- cos (θ)

$- \cos (θ)$ で因数分解します。

{cos}^{2} (θ) = cos (θ) \cdot - 1 \frac{sin (θ)}{cos (θ)}

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

ステップ 8

方程式の両辺に

$\sin (θ)$ を足します。

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

ステップ 9

$\cos^{2} (θ)$ を

$1 - \sin^{2} (θ)$ で置き換えます。

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

ステップ 10

$θ$ について解きます。

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ステップ 10.1

$u$ を

$\sin (θ)$ に代入します。

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

ステップ 10.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.3

$a = - 1$ 、

$b = 1$ 、および

$c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、

$u$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 10.4

簡約します。

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ステップ 10.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 10.4.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 10.4.1.2.1

$- 4$ に

$- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 10.4.1.2.2

$4$ に

$1$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 10.4.1.3

$1$ と

$4$ をたし算します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 10.4.2

$2$ に

$- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

ステップ 10.4.3

$\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ を簡約します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 10.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 10.6

$\sin (θ)$ を

$u$ に代入します。

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 10.7

各解を求め、

$θ$ を解きます。

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 10.8

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の

$θ$ について解きます。

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ステップ 10.8.1

正弦の値域は

$- 1 \leq y \leq 1$ です。

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 10.9

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ の

$θ$ について解きます。

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ステップ 10.9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

$θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

ステップ 10.9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 10.9.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ の値を求めます。

$θ = - 0.66623943$

ステップ 10.9.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

ステップ 10.9.4

$θ$ について解きます。

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ステップ 10.9.4.1

括弧を削除します。

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

ステップ 10.9.4.2

括弧を削除します。

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

ステップ 10.9.4.3

$3.14159265$ と

$0.66623943$ をたし算します。

$θ = 3.80783208$

ステップ 10.9.5

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.9.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.9.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.9.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.9.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 10.9.6.1

$2 π$ を

$- 0.66623943$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.66623943 + 2 π$

ステップ 10.9.6.2

$2 π$ から

$0.66623943$ を引きます。

$5.61694587$

ステップ 10.9.6.3

新しい角をリストします。

$θ = 5.61694587$

ステップ 10.9.7

$\sin (θ)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10.10

すべての解をまとめます。

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

基礎数学 例

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