基礎数学例

$\frac{2 c^{2} + 7 c - 15}{27 - 18 c} \div \frac{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}{6 c^{3} - 96 c}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{2 c^{2} + 7 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$7$ を $7 c$ で因数分解します。

$\frac{2 c^{2} + 7 (c) - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2.1.2

$7$ を $- 3$ プラス $10$ に書き換える

$\frac{2 c^{2} + (- 3 + 10) c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 c^{2} - 3 c + 10 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 c^{2} - 3 c) + 10 c - 15}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{c (2 c - 3) + 5 (2 c - 3)}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 2.3

最大公約数 $2 c - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{27 - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$9$ を $27 - 18 c$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3) - 18 c} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.1.2

$9$ を $- 18 c$ で因数分解します。

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3) + 9 (- 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.1.3

$9$ を $9 (3) + 9 (- 2 c)$ で因数分解します。

$\frac{(2 c - 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2

$2 c - 3$ と $3 - 2 c$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ を $2 c$ で因数分解します。

$\frac{(- (- 2 c) - 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{(- (- 2 c) - 1 (3)) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 1$ を $- (- 2 c) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- (- 2 c + 3)$ を $- 1 (- 2 c + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (3 - 2 c)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (- 2 c + 3)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.6

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (- 2 c + 3) (c + 5)}{9 (- 2 c + 3)} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.2.7

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (c + 5)}{9} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c^{3} - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$6 c$ を $6 c^{3} - 96 c$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$6 c$ を $6 c^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2}) - 96 c}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 4.1.2

$6 c$ を $- 96 c$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2}) + 6 c (- 16)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 4.1.3

$6 c$ を $6 c (c^{2}) + 6 c (- 16)$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2} - 16)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c^{2} - 4^{2})}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = c$ であり、 $b = 4$ です。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$c^{2}$ を $c^{4} + c^{3} - 20 c^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$c^{2}$ を $c^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{3} - 20 c^{2}}$

ステップ 5.1.2

$c^{2}$ を $c^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{2} c - 20 c^{2}}$

ステップ 5.1.3

$c^{2}$ を $- 20 c^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} c^{2} + c^{2} c + c^{2} \cdot - 20}$

ステップ 5.1.4

$c^{2}$ を $c^{2} c^{2} + c^{2} c$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c^{2} + c) + c^{2} \cdot - 20}$

ステップ 5.1.5

$c^{2}$ を $c^{2} (c^{2} + c) + c^{2} \cdot - 20$ で因数分解します。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c^{2} + c - 20)}$

ステップ 5.2

たすき掛けを利用して $c^{2} + c - 20$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $1$ です。

$- 4, 5$

ステップ 5.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} ((c - 4) (c + 5))}$

$- \frac{c + 5}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$c + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$- \frac{c + 5}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (c + 5)}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

ステップ 6.1.2

$c + 5$ を $- (c + 5)$ で因数分解します。

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4) (c + 5)}$

ステップ 6.1.3

$c + 5$ を $c^{2} (c - 4) (c + 5)$ で因数分解します。

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{(c + 5) (c^{2} (c - 4))}$

ステップ 6.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{(c + 5) \cdot - 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{(c + 5) (c^{2} (c - 4))}$

ステップ 6.1.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{9} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

ステップ 6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3 (3)} \cdot \frac{6 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

ステップ 6.2.2

$3$ を $6 c (c + 4) (c - 4)$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{3 (3)} \cdot \frac{3 (2 c (c + 4) (c - 4))}{c^{2} (c - 4)}$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 (2 c (c + 4) (c - 4))}{c^{2} (c - 4)}$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$

ステップ 6.3

$\frac{- 1}{3}$ に $\frac{2 c (c + 4) (c - 4)}{c^{2} (c - 4)}$ をかけます。

$\frac{- (2 c (c + 4) (c - 4))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

ステップ 6.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 ((c (c + 4)) (c - 4))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

ステップ 6.5

$c$ と $c^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$c$ を $- 2 ((c (c + 4)) (c - 4))$ で因数分解します。

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{3 (c^{2} (c - 4))}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$c$ を $3 (c^{2} (c - 4))$ で因数分解します。

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{c (3 (c (c - 4)))}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{c (- 2 ((c + 4) (c - 4)))}{c (3 (c (c - 4)))}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 ((c + 4) (c - 4))}{3 (c (c - 4))}$

ステップ 6.6

$c - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 ((c + 4) (c - 4))}{3 (c (c - 4))}$

ステップ 6.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 (c + 4)}{3 (c)}$

ステップ 6.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (c + 4)}{3 c}$

基礎数学 例

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