代数例

$y = e^{2 x + 5}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = e^{2 y + 5}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $e^{2 y + 5} = x$ として書き換えます。

$e^{2 y + 5} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y + 5}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$2 y + 5$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y + 5})$ を展開します。

$(2 y + 5) \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 y + 5) \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 2.3.3

$2 y + 5$ に $1$ をかけます。

$2 y + 5 = \ln (x)$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 y = \ln (x) - 5$

ステップ 2.5

$2 y = \ln (x) - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 y = \ln (x) - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{- 5}{2}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ が $f (x) = e^{2 x + 5}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{2 x + 5})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5})}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{\ln (e^{2 x + 5}) - 5}{2}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $2 x + 5$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \ln (e) - 5}{2}$

ステップ 4.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{(2 x + 5) \cdot 1 - 5}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$2 x + 5$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

ステップ 4.2.5

項を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$2 x + 5 - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.5.1.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 4.2.5.1.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (e^{2 x + 5}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (x)$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) - \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (x)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.4.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

ステップ 4.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 5 + 5}$

ステップ 4.3.3.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.5.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

ステップ 4.3.3.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 5 + 5}$

ステップ 4.3.3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x^{1}) - 5 + 5}$

ステップ 4.3.3.5.2

簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) - 5 + 5}$

ステップ 4.3.4

$\ln (x) - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

ステップ 4.3.4.2

$\ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = e^{\ln (x)}$

ステップ 4.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$ は $f (x) = e^{2 x + 5}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} - \frac{5}{2}$

代数 例

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