代数例

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$

ステップ 1

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ を方程式で書きます。

y = 2 x^{2} - 8

$y = 2 x^{2} - 8$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

x = 2 y^{2} - 8

$x = 2 y^{2} - 8$

ステップ 3

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$ として書き換えます。

2 y^{2} - 8 = x

$2 y^{2} - 8 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に

8

$8$ を足します。

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$

ステップ 3.3

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ の各項を

2

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

2 y^{2} = x + 8

$2 y^{2} = x + 8$ の各項を

2

$2$ で割ります。

\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{2}$ を

$1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$8$ を

$2$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{2} + 4$

ステップ 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.5.2

$4$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 4 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.4

$4$ に

$2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$

ステップ 3.5.5

$\sqrt{\frac{x + 8}{2}}$ を

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.7.1

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.7.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.7.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.7.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.7.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.5.9

$\pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 3.6.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ が

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の値域、

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な

$y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 8, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{2 (x + 8)}$ の被開数を

$0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (x + 8) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$2 (x + 8) \geq 0$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$2 (x + 8) \geq 0$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$x + 8$ を

$1$ で割ります。

$x + 8 \geq \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を

$2$ で割ります。

$x + 8 \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から

$8$ を引きます。

$x \geq - 8$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる

$x$ のすべての値です。

$[- 8, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ の定義域が

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の範囲で、

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ の範囲が

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の定義域なので、

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ は

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

ステップ 6

代数 例

代数例