代数例

$(3, \frac{1}{64})$

ステップ 1

点を含む指数関数 $f (x) = a^{x}$ を求めるために、関数の $f (x)$ を点の $y$ 値 $\frac{1}{64}$ とし、 $x$ を点の $x$ 値 $3$ とします。

$\frac{1}{64} = a^{3}$

ステップ 2

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $a^{3} = \frac{1}{64}$ として書き換えます。

$a^{3} = \frac{1}{64}$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{1}{64}$ を引きます。

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{64}$ を ${(\frac{1}{4})}^{3}$ に書き換えます。

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

ステップ 2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = \frac{1}{4}$ です。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$a$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3.2

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

ステップ 2.3.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

ステップ 2.3.3.4

$4$ を $2$ 乗します。

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

ステップ 2.5

$a - \frac{1}{4}$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$a - \frac{1}{4}$ が $0$ に等しいとします。

$a - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $\frac{1}{4}$ を足します。

$a = \frac{1}{4}$

ステップ 2.6

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ が $0$ に等しいとします。

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

ステップ 2.6.2

$a$ について $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

両辺に最小公分母 $16$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.6.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.2.1.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.6.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.6.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.6.2.1.2.2

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

ステップ 2.6.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

ステップ 2.6.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6.2.3

$a = 16$ 、 $b = 4$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.2.2

$- 64$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.4.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.4.2

$2$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.6.2.4.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.2.2

$- 64$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.5.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.5.2

$2$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.6.2.5.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.5.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.5.6

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.6.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.6.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.6.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.2.2

$- 64$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.6.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.6.2.6.2

$2$ に $16$ をかけます。

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.6.2.6.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.6.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.6.6

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.6.2.6.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

ステップ 2.6.2.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.6.2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7

最終解は $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.8

虚数成分を含む値をすべて削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

虚数成分はありません。最終の答えに $\frac{1}{4}$ を足します。

$\frac{1}{4}$ は実数です

ステップ 2.8.2

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ は実数ではありません

ステップ 2.8.3

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ は実数ではありません

ステップ 2.8.4

最終的な答えは虚数成分を含まない値のリストです。

$a = \frac{1}{4}$

ステップ 3

各値を $a$ に代入し、関数 $f (x) = a^{x}$ に戻し、それぞれの可能な指数関数を求めます。

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$

代数 例

代数例