代数例

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

ステップ 1

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

ステップ 2

$x = 2$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 2.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 2.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

ステップ 2.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

ステップ 2.5

結果 $(9)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

ステップ 2.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

ステップ 2.7

結果 $(17)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(34)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

ステップ 2.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

ステップ 2.9

結果 $(22)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(44)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

ステップ 2.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

ステップ 2.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

ステップ 2.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

ステップ 3

$2 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $2$ は関数の実根の上界です。

上界： $2$

ステップ 4

$x = - 2$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 4.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 4.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

ステップ 4.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

ステップ 4.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

ステップ 4.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

ステップ 4.7

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 10)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

ステップ 4.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

ステップ 4.9

結果 $(- 22)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(44)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

ステップ 4.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

ステップ 4.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

ステップ 4.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

ステップ 5

$- 2 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 2$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 2$

ステップ 6

$x = 3$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 6.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 6.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

ステップ 6.5

結果 $(12)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(36)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

ステップ 6.7

結果 $(35)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(105)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

ステップ 6.9

結果 $(93)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(279)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

ステップ 7

$3 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $3$ は関数の実根の上界です。

上界： $3$

ステップ 8

$x = - 3$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 8.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 8.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(- 9)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

ステップ 8.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

ステップ 8.5

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

ステップ 8.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

ステップ 8.7

結果 $(17)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(- 51)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

ステップ 8.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

ステップ 8.9

結果 $(- 63)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(189)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

ステップ 8.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

ステップ 8.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

ステップ 8.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

ステップ 9

$- 3 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 3$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 3$

ステップ 10

$x = 4$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 10.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 10.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(12)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

ステップ 10.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

ステップ 10.5

結果 $(15)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(60)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

ステップ 10.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

ステップ 10.7

結果 $(59)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(236)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

ステップ 10.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

ステップ 10.9

結果 $(224)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(896)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

ステップ 10.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

ステップ 10.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

ステップ 10.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

ステップ 11

$4 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $4$ は関数の実根の上界です。

上界： $4$

ステップ 12

$x = - 4$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 12.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 12.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 4)$ を掛け、 $(- 12)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

ステップ 12.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

ステップ 12.5

結果 $(- 9)$ の最新の項目に除数 $(- 4)$ を掛け、 $(36)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

ステップ 12.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

ステップ 12.7

結果 $(35)$ の最新の項目に除数 $(- 4)$ を掛け、 $(- 140)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

ステップ 12.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

ステップ 12.9

結果 $(- 152)$ の最新の項目に除数 $(- 4)$ を掛け、 $(608)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

ステップ 12.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

ステップ 12.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

ステップ 12.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

ステップ 13

$- 4 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 4$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 4$

ステップ 14

$x = - \frac{4}{3}$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 14.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 14.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{4}{3})$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

ステップ 14.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

ステップ 14.5

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{4}{3})$ を掛け、 $(\frac{4}{3})$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

ステップ 14.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

ステップ 14.7

結果 $(\frac{1}{3})$ の最新の項目に除数 $(- \frac{4}{3})$ を掛け、 $(- \frac{4}{9})$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

ステップ 14.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

ステップ 14.9

結果 $(- \frac{112}{9})$ の最新の項目に除数 $(- \frac{4}{3})$ を掛け、 $(\frac{448}{27})$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

ステップ 14.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

ステップ 14.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

ステップ 14.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

ステップ 15

$- \frac{4}{3} < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- \frac{4}{3}$ は関数の実根の下界です。

下界： $- \frac{4}{3}$

ステップ 16

$x = 6$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 16.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 16.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

ステップ 16.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

ステップ 16.5

結果 $(21)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(126)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

ステップ 16.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

ステップ 16.7

結果 $(125)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(750)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

ステップ 16.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

ステップ 16.9

結果 $(738)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(4428)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

ステップ 16.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

ステップ 16.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

ステップ 16.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

ステップ 17

$6 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $6$ は関数の実根の上界です。

上界： $6$

ステップ 18

$x = - 6$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 18.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 18.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(- 18)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

ステップ 18.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

ステップ 18.5

結果 $(- 15)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(90)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

ステップ 18.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

ステップ 18.7

結果 $(89)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(- 534)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

ステップ 18.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

ステップ 18.9

結果 $(- 546)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(3276)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

ステップ 18.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

ステップ 18.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

ステップ 18.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

ステップ 19

$- 6 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 6$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 6$

ステップ 20

$x = 12$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 20.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 20.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(12)$ を掛け、 $(36)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

ステップ 20.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

ステップ 20.5

結果 $(39)$ の最新の項目に除数 $(12)$ を掛け、 $(468)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

ステップ 20.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

ステップ 20.7

結果 $(467)$ の最新の項目に除数 $(12)$ を掛け、 $(5604)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

ステップ 20.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

ステップ 20.9

結果 $(5592)$ の最新の項目に除数 $(12)$ を掛け、 $(67104)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

ステップ 20.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

ステップ 20.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

ステップ 20.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

ステップ 21

$12 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $12$ は関数の実根の上界です。

上界： $12$

ステップ 22

$x = - 12$ のとき、組立除法を $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

ステップ 22.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

ステップ 22.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(- 12)$ を掛け、 $(- 36)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

ステップ 22.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

ステップ 22.5

結果 $(- 33)$ の最新の項目に除数 $(- 12)$ を掛け、 $(396)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

ステップ 22.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

ステップ 22.7

結果 $(395)$ の最新の項目に除数 $(- 12)$ を掛け、 $(- 4740)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

ステップ 22.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

ステップ 22.9

結果 $(- 4752)$ の最新の項目に除数 $(- 12)$ を掛け、 $(57024)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

ステップ 22.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

ステップ 22.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

ステップ 22.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

ステップ 23

$- 12 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 12$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 12$

ステップ 24

上界と下界を判定します。

上界： $2, 3, 4, 6, 12$

下界： $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

ステップ 25

代数 例

代数例