代数例

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.5

指数を足して ${\sqrt{2}}^{2}$ に $\sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.5.2

$\sqrt{2}$ に ${\sqrt{2}}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.6

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.8

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.10

$2$ に $3$ をかけます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.11

積の法則を $i \sqrt{2}$ に当てはめます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.12

指数を足して $\sqrt{2}$ に ${\sqrt{2}}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を移動させます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.12.2

${\sqrt{2}}^{2}$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.12.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.13

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.14

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.15

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.15.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.16

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.17

$2$ に $3$ をかけます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.18

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.19

$- 1$ に $6$ をかけます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 2.1.20

積の法則を $i \sqrt{2}$ に当てはめます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 2.1.21

$i^{2}$ を因数分解します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 2.1.22

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 2.1.23

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 2.1.24

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

ステップ 2.1.25

$2$ を $3$ 乗します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

ステップ 2.1.26

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.26.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

ステップ 2.1.26.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 2.1.27

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

ステップ 2.1.28

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 \sqrt{2}$ から $6 \sqrt{2}$ を引きます。

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 2.2.2

$6 \sqrt{2} i$ の因数を並べ替えます。

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 2.2.3

$6 i \sqrt{2}$ から $2 i \sqrt{2}$ を引きます。

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

ステップ 2.2.4

$4 i \sqrt{2}$ と $- 4 \sqrt{2}$ を並べ替えます。

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 4 \sqrt{2}$ と $b = 4 \sqrt{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$16$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.3.2

積の法則を $- 4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

ステップ 6.4.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

ステップ 6.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$16$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

ステップ 6.5.2

$32$ と $32$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{64}$

ステップ 6.5.3

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 6.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 8$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

ステップ 8

$\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

$θ = \frac{3 π}{4}$ と $| z | = 8$ の値を代入します。

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

代数 例

代数例