代数例

${(x + 3)}^{7}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(x + 3)}^{7}$ に対して $n = 7$ なので、展開の係数は線 $8$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ です。

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

ステップ 3

$a$ $x$ と $b$ $3$ の実価を式に代入します。

$1 {(x)}^{7} {(3)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(x)}^{7}$ に $1$ をかけます。

${(x)}^{7} {(3)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.3

$x^{7}$ に $1$ をかけます。

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.4

指数を求めます。

$x^{7} + 7 x^{6} \cdot 3 + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.5

$3$ に $7$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.6

$3$ を $2$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 21 x^{5} \cdot 9 + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.7

$9$ に $21$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.8

$3$ を $3$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 35 x^{4} \cdot 27 + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.9

$27$ に $35$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.10

$3$ を $4$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 35 x^{3} \cdot 81 + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.11

$81$ に $35$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.12

$3$ を $5$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 21 x^{2} \cdot 243 + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.13

$243$ に $21$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.14

簡約します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 x {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.15

$3$ を $6$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 x \cdot 729 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.16

$729$ に $7$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.17

${(x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

ステップ 4.18

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 1 {(3)}^{7}$

ステップ 4.19

${(3)}^{7}$ に $1$ をかけます。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + {(3)}^{7}$

ステップ 4.20

$3$ を $7$ 乗します。

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 2187$

代数 例

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