代数例

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

ステップ 1

括弧を削除します。

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$π$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

ステップ 4.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{π \cdot 4}{3}$ と $r^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

ステップ 4.1.2.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{4 π}{3}$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $\frac{4 π r^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ です。

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

ステップ 4.2

$f (V) = V^{3}$ および $g (V) = r$ のとき、 $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ は $f' (g (V)) g' (V)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r$ とします。

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

ステップ 4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $r$ で置き換えます。

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

ステップ 4.3

項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ と $\frac{4 π}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

ステップ 4.3.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

ステップ 4.3.3

$r^{2}$ と $\frac{12 π}{3}$ をまとめます。

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.4

$12$ を $r^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.5

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

$3$ を $12 r^{2} π$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.3.5.2.4

$4 r^{2} π$ を $1$ で割ります。

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d V} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$4 r^{2} π r'$

ステップ 4.5

$4 r^{2} π r'$ の因数を並べ替えます。

$4 π r^{2} r'$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 4 π r^{2} r'$

ステップ 6

$r'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $4 π r^{2} r' = 1$ として書き換えます。

$4 π r^{2} r' = 1$

ステップ 6.2

$4 π r^{2} r' = 1$ の各項を $4 π r^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4 π r^{2} r' = 1$ の各項を $4 π r^{2}$ で割ります。

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$r^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 6.2.2.3.2

$r'$ を $1$ で割ります。

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

ステップ 7

$r'$ を $\frac{d r}{d V}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

代数 例

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