代数例

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{6}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

ステップ 2.2.2

$y$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

ステップ 2.2.3

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

ステップ 2.4

両辺に最小公分母 $18$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$- \frac{4 y}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.2.2

$3$ を $18$ で因数分解します。

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.2.4

式を書き換えます。

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.3

$- 4$ に $6$ をかけます。

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.4

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.4.2

共通因数を約分します。

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.4.3

式を書き換えます。

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.5

$2$ に $43$ をかけます。

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

ステップ 2.4.2.6

$- 1$ に $18$ をかけます。

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

ステップ 2.4.3

$86$ を移動させます。

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

ステップ 2.4.4

$- 24 y$ を移動させます。

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

ステップ 2.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6

$a = 3$ 、 $b = - 24$ 、および $c = - 18 x + 86$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4

$- 18$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.5

$- 12$ に $86$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.6

$576$ から $1032$ を引きます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.7

$24$ を $216 x - 456$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.7.1

$24$ を $216 x$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.7.2

$24$ を $- 456$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.7.3

$24$ を $24 (9 x) + 24 (- 19)$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.8

$24 (9 x - 19)$ を $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.8.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.10

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

ステップ 2.7.3

$\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4

$- 18$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.5

$- 12$ に $86$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.6

$576$ から $1032$ を引きます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.7

$24$ を $216 x - 456$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.7.1

$24$ を $216 x$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.7.2

$24$ を $- 456$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.7.3

$24$ を $24 (9 x) + 24 (- 19)$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.8

$24 (9 x - 19)$ を $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.8.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.10

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

ステップ 2.8.3

$\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 2.8.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 2.9

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.4

$- 18$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.5

$- 12$ に $86$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.6

$576$ から $1032$ を引きます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.7

$24$ を $216 x - 456$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.7.1

$24$ を $216 x$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.7.2

$24$ を $- 456$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.7.3

$24$ を $24 (9 x) + 24 (- 19)$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.8

$24 (9 x - 19)$ を $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.8.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.8.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.1.10

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

ステップ 2.9.3

$\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 2.9.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 2.10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ が $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[\frac{19}{9}, \infty)$

ステップ 4.3

$\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\sqrt{6 (9 x - 19)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 (9 x - 19) \geq 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$6 (9 x - 19) \geq 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$6 (9 x - 19) \geq 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 4.3.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

ステップ 4.3.2.1.2.1.2

$9 x - 19$ を $1$ で割ります。

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

ステップ 4.3.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$9 x - 19 \geq 0$

ステップ 4.3.2.2

不等式の両辺に $19$ を足します。

$9 x \geq 19$

ステップ 4.3.2.3

$9 x \geq 19$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$9 x \geq 19$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

ステップ 4.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

ステップ 4.3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{19}{9}$

ステップ 4.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[\frac{19}{9}, \infty)$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.5

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ の定義域が $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ の範囲が $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ は $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

ステップ 5

代数 例

代数例