代数例

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{5}{2}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

ステップ 4.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

ステップ 4.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

ステップ 4.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$25 - 25$

ステップ 4.2

$25$ から $25$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$\frac{5}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{5}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(\frac{5}{2})$ を掛け、 $(10)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

ステップ 6.5

結果 $(10)$ の最新の項目に除数 $(\frac{5}{2})$ を掛け、 $(25)$ の結果を被除数 $(- 25)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

ステップ 6.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(4) x + 10$

ステップ 6.8

商の多項式を簡約します。

$4 x + 10$

ステップ 7

$2$ を $4 x + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

ステップ 7.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

ステップ 7.3

$2$ を $2 (2 x) + 2 (5)$ で因数分解します。

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

ステップ 8

方程式の両辺に $25$ を足します。

$4 x^{2} = 25$

ステップ 9

$4 x^{2} = 25$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$4 x^{2} = 25$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

ステップ 9.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{25}{4}$

ステップ 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

ステップ 11

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ を $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 11.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

ステップ 11.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 11.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{5}{2}$

ステップ 12

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 12.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

ステップ 13

代数 例

代数例