代数例

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 5$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

ステップ 4.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

ステップ 4.1.3

$- 11$ に $25$ をかけます。

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

ステップ 4.1.4

$43$ に $5$ をかけます。

$125 - 275 + 215 - 65$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$125$ から $275$ を引きます。

$- 150 + 215 - 65$

ステップ 4.2.2

$- 150$ と $215$ をたし算します。

$65 - 65$

ステップ 4.2.3

$65$ から $65$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(5)$ の結果を被除数 $(- 11)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

ステップ 6.5

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(- 30)$ の結果を被除数 $(43)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

ステップ 6.7

結果 $(13)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(65)$ の結果を被除数 $(- 65)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 6 x + 13$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.3.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 7.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.4.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 7.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 3 + 2 i$

ステップ 7.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 4$ に $13$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.3

$36$ から $52$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.5.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 i$

ステップ 7.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 3 - 2 i$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

ステップ 9

多項式 $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ の根（0）です。

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

ステップ 10

代数 例

代数例