代数例

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

ステップ 4.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

ステップ 4.1.3

$3$ に $9$ をかけます。

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

ステップ 4.1.4

$- 7$ に $- 3$ をかけます。

$- 27 + 27 + 21 - 21$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$0 + 21 - 21$

ステップ 4.2.2

$0$ と $21$ をたし算します。

$21 - 21$

ステップ 4.2.3

$21$ から $21$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

ステップ 6.7

結果 $(- 7)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(21)$ の結果を被除数 $(- 21)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 0 x - 7$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 7$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x^{2} = 7$

ステップ 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{7}$

ステップ 7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{7}$

ステップ 7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

ステップ 9

多項式 $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ の根（0）です。

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

10進法形式：

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

ステップ 11

代数 例

代数例