代数例

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

ステップ 4.1.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 - 5 + 6$

$1 - 2 - 5 + 6$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 - 5 + 6$

ステップ 4.2.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 4.2.3

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

$0$

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

ステップ 6.7

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

ステップ 6.9

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 5)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

ステップ 6.11

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

ステップ 6.12

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

ステップ 6.13

結果 $(- 6)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

ステップ 6.14

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

ステップ 6.15

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

ステップ 6.16

商の多項式を簡約します。

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

項を再分類します。

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.2

$x$ を $x^{5} - x^{3} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.2.2

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.2.3

$x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.2.5

$x$ を $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ で因数分解します。

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 6$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 7.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.6

因数分解。

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ステップ 7.1.6.1

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.6.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.7

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

ステップ 7.1.8

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

ステップ 7.1.9

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 6$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 7.1.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

ステップ 7.1.10

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 7.1.11

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ を $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.11.1

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ を $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 7.1.11.2

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ を $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

ステップ 7.1.11.3

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ を $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 7.3

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 7.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 7.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 7.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 7.4

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 7.4.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 7.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 7.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 7.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 7.6

最終解は $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

ステップ 9

多項式 $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ の根（0）です。

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

ステップ 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$