代数例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 8 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4.1.3

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 8 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 8 + 7 \cdot 1 + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4.1.5

$7$ に $1$ をかけます。

$1 + 8 + 7 + 42 (- 1) + 26$

ステップ 4.1.6

$42$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 8 + 7 - 42 + 26$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $8$ をたし算します。

$9 + 7 - 42 + 26$

ステップ 4.2.2

$9$ と $7$ をたし算します。

$16 - 42 + 26$

ステップ 4.2.3

$16$ から $42$ を引きます。

$- 26 + 26$

ステップ 4.2.4

$- 26$ と $26$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

ステップ 6.5

結果 $(- 9)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(7)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$16$

ステップ 6.7

結果 $(16)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 16)$ の結果を被除数 $(42)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

ステップ 6.9

結果 $(26)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 26)$ の結果を被除数 $(26)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (16) x + 26$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

ステップ 7.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

ステップ 7.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 9 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 26$

ステップ 7.1.3.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 9 + 16 \cdot - 1 + 26$

ステップ 7.1.3.5

$- 1$ から $9$ を引きます。

$- 10 + 16 \cdot - 1 + 26$

ステップ 7.1.3.6

$16$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 - 16 + 26$

ステップ 7.1.3.7

$- 10$ から $16$ を引きます。

$- 26 + 26$

ステップ 7.1.3.8

$- 26$ と $26$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26}{x + 1}$

ステップ 7.1.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 7.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$26$

ステップ 7.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$

ステップ 7.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 7.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 7.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

ステップ 7.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 7.1.5.7

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 7.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

ステップ 7.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} - 10 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

ステップ 7.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$

ステップ 7.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

ステップ 7.1.5.12

被除数 $26 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

ステップ 7.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							+	$26 x$	+	$26$

ステップ 7.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $26 x + 26$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$

ステップ 7.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$
										$0$

ステップ 7.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 26$

ステップ 7.1.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

ステップ 7.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7.4

$x^{2} - 10 x + 26$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x^{2} - 10 x + 26$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = 26$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 26$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $26$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$100$ から $104$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\frac{10 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm i$

ステップ 7.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.4.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 26$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $26$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.3

$100$ から $104$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

ステップ 7.4.2.4.3

$\frac{10 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm i$

ステップ 7.4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 5 + i$

ステップ 7.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 26$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $26$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.3

$100$ から $104$ を引きます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

ステップ 7.4.2.5.3

$\frac{10 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 5 \pm i$

ステップ 7.4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 5 - i$

ステップ 7.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 5 + i, 5 - i$

ステップ 7.5

最終解は $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 1) (x - 5 - i) (x - 5 + i)$

ステップ 9

多項式 $x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$ の根（0）です。

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

ステップ 10

代数 例

代数例