代数例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

ステップ 4.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

ステップ 4.1.3

$- 4$ に $27$ をかけます。

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

ステップ 4.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

ステップ 4.1.5

$- 18$ に $9$ をかけます。

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

ステップ 4.1.6

$108$ に $3$ をかけます。

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$81$ から $108$ を引きます。

$- 27 - 162 + 324 - 135$

ステップ 4.2.2

$- 27$ から $162$ を引きます。

$- 189 + 324 - 135$

ステップ 4.2.3

$- 189$ と $324$ をたし算します。

$135 - 135$

ステップ 4.2.4

$135$ から $135$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.5

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

ステップ 6.7

結果 $(- 21)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 63)$ の結果を被除数 $(108)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

ステップ 6.9

結果 $(45)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(135)$ の結果を被除数 $(- 135)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

ステップ 7.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 7.1.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 7.1.1.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 7.1.1.3.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 7.1.1.3.5

$27$ から $9$ を引きます。

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

ステップ 7.1.1.3.6

$- 21$ に $3$ をかけます。

$18 - 63 + 45$

ステップ 7.1.1.3.7

$18$ から $63$ を引きます。

$- 45 + 45$

ステップ 7.1.1.3.8

$- 45$ と $45$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

ステップ 7.1.1.5

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を $x - 3$ で割ります。

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ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $- 15 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 15 x + 45$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x - 15$

ステップ 7.1.1.6

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

ステップ 7.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 7.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 7.1.3

同類因数をまとめます

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ステップ 7.1.3.1

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 7.1.3.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 7.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

ステップ 7.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 7.3

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 7.5

最終解は ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 3) (x + 5)$

ステップ 9

多項式 $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ の根（0）です。

$x = 3, - 5$

ステップ 10

代数 例

代数例