代数例

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4.1.3

$12$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4.1.5

$- 15$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

ステップ 4.1.6

$- 24$ に $1$ をかけます。

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $12$ をたし算します。

$13 - 15 - 24 + 26$

ステップ 4.2.2

$13$ から $15$ を引きます。

$- 2 - 24 + 26$

ステップ 4.2.3

$- 2$ から $24$ を引きます。

$- 26 + 26$

ステップ 4.2.4

$- 26$ と $26$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(12)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

ステップ 6.5

結果 $(13)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(13)$ の結果を被除数 $(- 15)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

ステップ 6.7

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(- 24)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

ステップ 6.9

結果 $(- 26)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 26)$ の結果を被除数 $(26)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

ステップ 8

最大公約数 $x + 13$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

ステップ 9.2

$12 x$ を $12 x^{3} - 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$12 x$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

ステップ 9.2.2

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

ステップ 9.2.3

$12 x$ を $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

ステップ 9.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

ステップ 9.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

ステップ 9.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 15 u + 26$ を因数分解します。

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ステップ 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $26$ で、その和が $- 15$ です。

$- 13, - 2$

ステップ 9.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.7

$x^{2} - 2$ を $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 9.7.1

$x^{2} - 2$ を $12 x (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.7.2

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

ステップ 9.7.3

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

ステップ 9.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

ステップ 9.9

たすき掛けを利用して $12 u + u^{2} - 13$ を因数分解します。

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ステップ 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 13$ で、その和が $12$ です。

$- 1, 13$

ステップ 9.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

ステップ 9.10

因数分解。

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ステップ 9.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

ステップ 9.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

ステップ 11

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 12

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 13

$x + 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 13$ が $0$ に等しいとします。

$x + 13 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$x = - 13$

ステップ 14

最終解は $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

10進法形式：

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

ステップ 16

代数 例

代数例