代数例

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

ステップ 3

$5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ を多項式に代入します。

$5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

ステップ 3.2

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

ステップ 3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 11 \cdot 25 + 43 \cdot 5 - 65$

ステップ 3.4

$- 11$ に $25$ をかけます。

$125 - 275 + 43 \cdot 5 - 65$

ステップ 3.5

$125$ から $275$ を引きます。

$- 150 + 43 \cdot 5 - 65$

ステップ 3.6

$43$ に $5$ をかけます。

$- 150 + 215 - 65$

ステップ 3.7

$- 150$ と $215$ をたし算します。

$65 - 65$

ステップ 3.8

$65$ から $65$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

ステップ 5

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ を $x - 5$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$43 x$

$65$

ステップ 5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

ステップ 5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} + 30 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

ステップ 5.12

被除数 $13 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $13 x - 65$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x + 13$

ステップ 6

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 5) (x^{2} - 6 x + 13)$

代数 例

代数例