代数例

$8^{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 8^{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $8^{y} = x$ として書き換えます。

$8^{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8^{y}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{y})$ を展開します。

$y \ln (8) = \ln (x)$

ステップ 2.4

$y \ln (8) = \ln (x)$ の各項を $\ln (8)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$y \ln (8) = \ln (x)$ の各項を $\ln (8)$ で割ります。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

ステップ 2.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ が $f (x) = 8^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 8^{x}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.4

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x)}{\ln (8)}}$

ステップ 4.3.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\log_{8} (x)}$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ は $f (x) = 8^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

代数 例

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