代数例

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ として書き換えます。

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$12^{x} = \frac{1}{y}$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $\frac{1}{y} = 12^{x}$ として書き換えます。

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

ステップ 2.3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1$

ステップ 2.3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{y} = 12^{x}$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{y} = 12^{x}$ の各項に $y$ を掛けます。

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

ステップ 2.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

ステップ 2.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 12^{x} y$

ステップ 2.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.3.1

$12^{x} y$ の因数を並べ替えます。

$1 = y \cdot 12^{x}$

ステップ 2.3.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.3.4.1

方程式を $y \cdot 12^{x} = 1$ として書き換えます。

$y \cdot 12^{x} = 1$

ステップ 2.3.4.2

$y \cdot 12^{x} = 1$ の各項を $12^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$y \cdot 12^{x} = 1$ の各項を $12^{x}$ で割ります。

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

ステップ 2.3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$12^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

ステップ 2.3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{12^{x}}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ が $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

ステップ 4.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

ステップ 4.2.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{12^{x}})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

ステップ 4.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

ステップ 4.3.4

$\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ を $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

ステップ 4.3.5

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

ステップ 4.3.6

$12$ の対数の底 $12$ は $1$ です。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

ステップ 4.3.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

ステップ 4.3.8

$1$ の対数の底 $12$ は $0$ です。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

ステップ 4.3.9

$0$ と $x$ をたし算します。

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ は $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

代数 例

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