代数例

$f (x) = \log (\frac{x + 5}{x - 1})$

ステップ 1

$\log (\frac{x + 5}{x - 1})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 5}{x - 1} > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 5$

$x = 1$

ステップ 2.5

解をまとめます。

$x = - 5, 1$

ステップ 2.6

$\frac{x + 5}{x - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.6.1

$\frac{x + 5}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{(- 8) + 5}{(- 8) - 1} > 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $0.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.2

区間 $- 5 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 5 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 5}{(0) - 1} > 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 5$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 5}{(4) - 1} > 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > 1$

ステップ 3

$\frac{x + 5}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 5, x > 1}$

ステップ 6

代数 例

代数例