代数例

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

項を再分類します。

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.2

$4 x$ を $4 x^{3} + 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.2.2

$4 x$ を $16 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

ステップ 1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 7 u + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 1.7

$x^{2} + 4$ を $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

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ステップ 1.7.1

$x^{2} + 4$ を $4 x (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 1.7.2

$x^{2} + 4$ を $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

ステップ 1.7.3

$x^{2} + 4$ を $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

ステップ 1.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

ステップ 1.9

たすき掛けを利用して $4 u + u^{2} + 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 1.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

ステップ 1.10

因数分解。

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ステップ 1.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 3.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 3.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 3.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

最終解は $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

ステップ 7

代数 例

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