代数例

$\frac{x^{2} + 5 x - 3}{4 x - 1}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{2} + 5 x - 3}{4 x - 1}$ が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 x$

$1$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

ステップ 5.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	-	$\frac{x}{4}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - \frac{x}{4}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$3$

ステップ 5.7

被除数 $\frac{21 x}{4}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$3$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$3$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$\frac{21}{16}$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $\frac{21 x}{4} - \frac{21}{16}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$3$
					-	$\frac{21 x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$
$4 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$\frac{x}{4}$
					+	$\frac{21 x}{4}$	-	$3$
					-	$\frac{21 x}{4}$	+	$\frac{21}{16}$
							-	$\frac{27}{16}$

ステップ 5.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{x}{4} + \frac{21}{16} - \frac{27}{16 (4 x - 1)}$

ステップ 5.12

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = \frac{x}{4} + \frac{21}{16}$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = \frac{1}{4}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = \frac{x}{4} + \frac{21}{16}$

ステップ 7

代数 例

代数例