代数例

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$

ステップ 1

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

ステップ 2.1.3

$- 4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 4$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 4$ を多項式に代入します。

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

ステップ 2.1.3.2

$- 4$ を $3$ 乗します。

$- 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

ステップ 2.1.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$- 64 - 2 \cdot 16 + 10 \cdot - 4 + 136$

ステップ 2.1.3.4

$- 2$ に $16$ をかけます。

$- 64 - 32 + 10 \cdot - 4 + 136$

ステップ 2.1.3.5

$- 64$ から $32$ を引きます。

$- 96 + 10 \cdot - 4 + 136$

ステップ 2.1.3.6

$10$ に $- 4$ をかけます。

$- 96 - 40 + 136$

ステップ 2.1.3.7

$- 96$ から $40$ を引きます。

$- 136 + 136$

ステップ 2.1.3.8

$- 136$ と $136$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 4$ は既知の根なので、多項式を $x + 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136}{x + 4}$

ステップ 2.1.5

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ を $x + 4$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$10 x$

$136$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} - 24 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $34 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							+	$34 x$	+	$136$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $34 x + 136$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x + 34$

ステップ 2.1.6

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

ステップ 2.3

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.4

$x^{2} - 6 x + 34$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 6 x + 34$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 6 x + 34 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 34$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 34$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $34$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$36$ から $136$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 100$ を $- 1 (100)$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{6 \pm 10 i}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 5 i$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + 5 i, 3 - 5 i$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 3 + 5 i, 3 - 5 i$

ステップ 3

代数 例

代数例