代数例

$y = \log_{4} (x) + 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \log_{4} (y) + 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\log_{4} (y) + 1 = x$ として書き換えます。

$\log_{4} (y) + 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\log_{4} (y) = x - 1$

ステップ 2.3

対数の定義を利用して $\log_{4} (y) = x - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{x - 1} = y$

ステップ 2.4

方程式を $y = 4^{x - 1}$ として書き換えます。

$y = 4^{x - 1}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ が $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

ステップ 4.2.3

$(\log_{4} (x) + 1) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

ステップ 4.2.3.2

$\log_{4} (x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

ステップ 4.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (4^{x - 1})$ の値を求めます。

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 1$ を移動します。

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

ステップ 4.3.3.2

$4$ の対数の底 $4$ は $1$ です。

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

ステップ 4.3.3.3

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

ステップ 4.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (4^{x - 1}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ は $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

代数 例

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