代数例

$p (x) = \frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 1

式 $\frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{\sqrt[3]{63}}{3}$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 9$

$m = 3$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$6 x$ を $6 x - 12 x^{9}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$6 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{6 x (1) - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.1.2

$6 x$ を $- 12 x^{9}$ で因数分解します。

$\frac{6 x (1) + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.1.3

$6 x$ を $6 x (1) + 6 x (- 2 x^{8})$ で因数分解します。

$\frac{6 x (1 - 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2

$6 x (1 - 2 x^{8})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x \cdot 1 + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.2

$x$ を移動させます。

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 x (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 x \cdot (- 2 x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.4

$x$ を移動させます。

$\frac{6 \cdot (1 x) + 6 \cdot (- 2 x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.5

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 x + 6 \cdot (- 2 x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.6

$6$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{6 x - 12 x \cdot x^{8}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 x - 12 (x \cdot x^{8})}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x - 12 x^{1 + 8}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.9

$1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{6 x - 12 x^{9}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.2.10

$6 x$ と $- 12 x^{9}$ を並べ替えます。

$\frac{- 12 x^{9} + 6 x}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

ステップ 5.4

被除数 $- 12 x^{9}$ の最高次項を除数 $3 x^{3}$ の最高次項で割ります。

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

ステップ 5.5

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

ステップ 5.6

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x^{9} + 0 + 0 - 28 x^{6}$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

ステップ 5.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

ステップ 5.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 x^{6}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 5.9

被除数 $28 x^{6}$ の最高次項を除数 $3 x^{3}$ の最高次項で割ります。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 5.10

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

ステップ 5.11

式は被除数から引く必要があるので、 $28 x^{6} + 0 + 0 + \frac{196 x^{3}}{3}$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

ステップ 5.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

ステップ 5.13

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

ステップ 5.14

被除数 $- \frac{196 x^{3}}{3}$ の最高次項を除数 $3 x^{3}$ の最高次項で割ります。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

ステップ 5.15

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

ステップ 5.16

式は被除数から引く必要があるので、 $- \frac{196 x^{3}}{3} + 0 + 0 - \frac{1372}{9}$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

ステップ 5.17

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$\frac{28 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{196}{9}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$12 x^{9}$

$0 x^{8}$

$0 x^{7}$

$0 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$12 x^{9}$

$0$

$28 x^{6}$

$0 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$28 x^{6}$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0 x^{2}$

$6 x$

$0$

$\frac{196 x^{3}}{3}$

$0$

$\frac{1372}{9}$

$6 x$

$\frac{1372}{9}$

ステップ 5.18

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$- 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9} + \frac{6 x + \frac{1372}{9}}{3 x^{3} + 7}$

ステップ 5.19

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = - 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9}$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{\sqrt[3]{63}}{3}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = - 4 x^{6} + \frac{28 x^{3}}{3} - \frac{196}{9}$

ステップ 7

代数 例

代数例