代数例

$\frac{1}{x + 1} > \frac{2}{x - 1}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{2}{x - 1}$ を引きます。

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

ステップ 2

$\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} > 0$

ステップ 2.2

$- \frac{2}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{x - 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} > 0$

ステップ 2.3.3

$(x - 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 1 - 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - 2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.5.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x - 1 - 2}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.5.4

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- x - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) - 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.7

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.9

$- (x + 3)$ を $- 1 (x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = - 1$

$x = 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = - 3, - 1, 1$

ステップ 9

$- \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 9.2.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 9.2.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{(- 6) + 1} > \frac{2}{(- 6) - 1}$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 0.2$ は右辺 $- 0.\overline{285714}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 3 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 3 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{(- 2) + 1} > \frac{2}{(- 2) - 1}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $- 0.\overline{6}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{1}{(0) + 1} > \frac{2}{(0) - 1}$

ステップ 11.3.3

左辺 $1$ は右辺 $- 2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{1}{(4) + 1} > \frac{2}{(4) - 1}$

ステップ 11.4.3

左辺 $0.2$ は右辺 $0.\overline{6}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3$ または $- 1 < x < 1$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1)$

ステップ 14

代数 例

代数例