代数例

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を再分類します。

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.2

$x^{3}$ を $x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x^{3}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.2.2

$x^{3}$ を $- 4 x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.2.3

$x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x^{3}$ を $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x)$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4 + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.2.5

$x^{3}$ を $x^{3} (x^{2} - 4 x) + x^{3} \cdot 4$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.3.3

多項式を書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.3.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1.4.1.2

$- 5$ を $- 1$ プラス $- 4$ に書き換える

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

ステップ 1.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + 2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

ステップ 1.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

ステップ 1.4.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

ステップ 1.5

$x - 2$ を $x^{3} {(x - 2)}^{2} + (2 x - 1) (x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x - 2$ を $x^{3} {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (2 x - 1) (x - 2) = 0$

ステップ 1.5.2

$x - 2$ を $(2 x - 1) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1) = 0$

ステップ 1.5.3

$x - 2$ を $(x - 2) (x^{3} (x - 2)) + (x - 2) (2 x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 2) (x^{3} (x - 2) + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.7

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x - 2) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x - 2) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.7.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$(x - 2) (x^{4} + x^{3} \cdot - 2 + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.8

$- 2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) = 0$

ステップ 1.9

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

因数分解した形で $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1

有理根検定を用いて $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 1.9.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 1.9.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 + 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 + 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 - 2 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.7

$3$ から $2$ を引きます。

$1 - 1$

ステップ 1.9.1.1.3.8

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 1.9.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{x + 1}$

ステップ 1.9.1.1.5

$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 1.9.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} + x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 1.9.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

ステップ 1.9.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.9.1.1.5.7

被除数 $- 3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 1.9.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 1.9.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 1.9.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 1.9.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

ステップ 1.9.1.1.5.12

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

ステップ 1.9.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

ステップ 1.9.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

ステップ 1.9.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

ステップ 1.9.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.17

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 1$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

ステップ 1.9.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x$

$1$

$0$

ステップ 1.9.1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

ステップ 1.9.1.1.6

$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) ((x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

ステップ 1.9.1.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 1.9.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 1.9.1.2.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.2.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.5

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 3 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.7

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$1 - 1$

ステップ 1.9.1.2.3.8

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 1.9.1.2.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

ステップ 1.9.1.2.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ を $x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

ステップ 1.9.1.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

ステップ 1.9.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.9.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.9.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 1.9.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 1.9.1.2.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 1.9.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.9.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.9.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

ステップ 1.9.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

ステップ 1.9.1.2.5.12

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

ステップ 1.9.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

ステップ 1.9.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

ステップ 1.9.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

ステップ 1.9.1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 1.9.1.2.6

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

ステップ 1.9.1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

ステップ 1.9.1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.9.1.3.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

ステップ 1.9.1.3.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

ステップ 1.9.1.4

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1.4.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

ステップ 1.9.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

ステップ 1.9.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(x - 2) ((x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

ステップ 1.9.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

${(x - 1)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(x - 1)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{3} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について ${(x - 1)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

最終解は $(x - 2) (x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1, 1$

ステップ 7

代数 例

代数例