代数例

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

ステップ 2.2

最大公約数 $x - 8$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.4

因数分解。

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ステップ 2.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7

最終解は $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 8, - 1, 1$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 180$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $1 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $1 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 60$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $198$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 \leq x \leq 1$ または $x \geq 8$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

ステップ 12

代数 例

代数例