代数例

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{5}{7 - x}$ を引きます。

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

ステップ 2

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

ステップ 2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7 - x}{7 - x}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

ステップ 2.3

$- \frac{5}{7 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (7 - x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{7 - x}{7 - x}$ をかけます。

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{5}{7 - x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

ステップ 2.4.3

$(7 - x) x$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.6.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.6.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 2.6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.6.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.6.4

$x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.7

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.9

$- 1$ を $- 1 (7) - (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$4 x = - 7$

ステップ 5

$4 x = - 7$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$4 x = - 7$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{4}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7}{4}$

ステップ 6

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- x = - 7$

ステップ 7

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 7$ を $- 1$ で割ります。

$x = 7$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

ステップ 10

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (7 - x) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$7 - x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 10.2.3

$7 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.1

$7 - x$ が $0$ に等しいとします。

$7 - x = 0$

ステップ 10.2.3.2

$x$ について $7 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- x = - 7$

ステップ 10.2.3.2.2

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.3.2.2.1

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 10.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 10.2.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 10.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.3.2.2.3.1

$- 7$ を $- 1$ で割ります。

$x = 7$

ステップ 10.2.4

最終解は $x (7 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - \frac{7}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - \frac{7}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

ステップ 12.1.3

左辺 $0.25$ は右辺 $0.\overline{45}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $- \frac{7}{4} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- \frac{7}{4} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

ステップ 12.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0.625$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間 $0 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $0 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $1.\overline{6}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

ステップ 12.4.3

左辺 $- 0.1$ は右辺 $- 1.\overline{6}$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{7}{4}$ 真

$- \frac{7}{4} < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - \frac{7}{4}$ 真

$- \frac{7}{4} < x < 0$ 偽

$0 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{7}{4}$ または $0 < x < 7$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

ステップ 15

代数 例

代数例