代数例

$y = 3 x^{2} - 9 x + 12$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$3 x^{2} - 9 x + 12$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 9$

$c = 12$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$3$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{2}$

ステップ 1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{3}{2}$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 12 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$e = 12 - \frac{81}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 12 - \frac{81}{12}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

$81$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.3.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$e = 12 - \frac{3 (27)}{12}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.3.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$e = 12 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 12 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 12 - \frac{27}{4}$

ステップ 1.1.4.2.2

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$e = 12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{27}{4}$

ステップ 1.1.4.2.3

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{27}{4}$

ステップ 1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{12 \cdot 4 - 27}{4}$

ステップ 1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.5.1

$12$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{48 - 27}{4}$

ステップ 1.1.4.2.5.2

$48$ から $27$ を引きます。

$e = \frac{21}{4}$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{21}{4}$ に代入します。

$3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{21}{4}$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 3 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{21}{4}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 3$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{21}{4}$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{3}{2}, \frac{21}{4})$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

ステップ 5.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{12}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{3}{2}, \frac{16}{3})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 8

代数 例

代数例