代数例

$x - \frac{24}{x} < 10$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2

$x - \frac{24}{x} < 10$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$x - \frac{24}{x} < 10$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x - \frac{24}{x} x < 10 x$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - \frac{24}{x} x < 10 x$

ステップ 2.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- \frac{24}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} + \frac{- 24}{x} x < 10 x$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{- 24}{x} x < 10 x$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 24 < 10 x$

ステップ 3

不等式を解きます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺から $10 x$ を引きます。

$x^{2} - 24 - 10 x < 0$

ステップ 3.2

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 24 - 10 x = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 24 - 10 x$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 10$ です。

$- 12, 2$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 12) (x + 2) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 12 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.5

$x - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x - 12 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 3.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 12) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 12, - 2$

ステップ 4

$x - \frac{24}{x} - 10$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{24}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$(- 4) - \frac{24}{- 4} < 10$

ステップ 6.1.3

左辺 $2$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$(- 1) - \frac{24}{- 1} < 10$

ステップ 6.2.3

左辺 $23$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.3

区間 $0 < x < 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $0 < x < 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$(2) - \frac{24}{2} < 10$

ステップ 6.3.3

左辺 $- 10$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間 $x > 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 14$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $14$ で置き換えます。

$(14) - \frac{24}{14} < 10$

ステップ 6.4.3

左辺 $12.\overline{285714}$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 12$ 真

$x > 12$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 12$ 真

$x > 12$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $0 < x < 12$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 2) \cup (0, 12)$

ステップ 9

代数 例

代数例